首页 > 设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂

设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂

题目简介

设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂

题目详情

设函数y=f(x)=ax+
1
x+b
(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积．．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）=ax+class="stub"1
x+b
（a≠0）的图象过点（0，-1）
∴f（0）=-1得b=-1
所以f（x）=ax+class="stub"1
x+1
，（2分）
∵f（x）的图象与直线y=-1有且只有一个公共点
∴-1=ax+class="stub"1
x+1
只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+class="stub"1
x-1
（4分）
（2）证明：已知函数y1=x，y2=class="stub"1
x
都是奇函数．
所以函数g（x）=x+class="stub"1
x
也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f（x）=x-1+class="stub"1
x-1
+1
可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）
（3）证明：∵P点(x0，x0+class="stub"1
x0-1
)
过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，
则QA=PN=AB=x0-1，QB=
2
(x0-1)．
PA=yP-1=x0-1+class="stub"1
x0-1
，∴PB=PA-AB=class="stub"1
x 0-1
，
∴PM=BM=
2
2
PB=class="stub"1
2
(x0-1)
．
∴PM•PN=class="stub"1
2
(x0-1)
．（x0-1）=
2
2
为定值．（13分）
连QP；∵QM=QB+BM=
2
(x0-1)+class="stub"1
2
(x0-1)
，
∴S△QMP=class="stub"1
2
QM×PM=class="stub"1
2
×
[
2
(x0-1)+class="stub"1
2
(x0-1)
].class="stub"1
2
(x0-1)
=class="stub"1
2
+class="stub"1
4(x0-1)2

又S△QNP=class="stub"1
2
NP×PA=class="stub"1
2
（x0-1）．（x0-1+class="stub"1
x0-1
）=class="stub"1
2
(x0-1)2+class="stub"1
2

∴SQMPN=class="stub"1
2
(x0-1)2+class="stub"1
2
+class="stub"1
2
+class="stub"1
4(x0-1)2
=class="stub"1
2
(x0-1)2+class="stub"1
4(x0-1)2
+1（16分）

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