已知偶函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为______.-数学

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已知偶函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为______.-数学

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已知偶函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2为偶函数
∴对称轴x=-class="stub"2a+ab
2b
=0
∴a(2+b)=0
∴a=0或b=-2
若a=0,f(x)=bx2的值域不是(-∞,4],不符合题意
若b=-2,f(x)=-2x2+2a2≤2a2,此时值域为-∞,2a2],
∴2a2=4,f(x)=-2x2+4
故答案为:f(x)=-2x2+4

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