已知函数f(x)=logm1+x1-x(其中m>0,m≠1),(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明:函数f(x)具有性质:f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);(3)若f(a+b1+ab)=

题目简介

已知函数f(x)=logm1+x1-x(其中m>0,m≠1),(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明:函数f(x)具有性质:f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);(3)若f(a+b1+ab)=

题目详情

已知函数f(x)=logm
1+x
1-x
(其中m>0,m≠1)

(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)具有性质:f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(3)若f(
a+b
1+ab
)=1
f(
a-b
1-ab
)=2
,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知,class="stub"1+x
1-x
>0,∴-1<x<1,定义域关于原点对称,
f(-x)=
logclass="stub"1-x
1+x
m
=-
logclass="stub"1+x
1-x
m
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)∵f(x)+f(y)=
logclass="stub"1+x
1-x
m
+
logclass="stub"1+y
1-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m

f(class="stub"x+y
1+xy
)=
log
1+class="stub"x+y
1+xy
1-class="stub"x+y
1+xy
m
=
logclass="stub"1+xy+x+y
1+xy-x-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m

f(x)+f(y)=f(class="stub"x+y
1+xy
)

(3)∵f(class="stub"a+b
1+ab
)=1
f(class="stub"a-b
1-ab
)=2
,∴f(a)+f(b)=1,
f(a)-f(b)=3,∴f(a)=2,f(b)=-1.

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