设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x).已知f(1)=lg32,f(2)=lg15.(1)通过计算f(3),f(4),…,由此猜测函数的周期T,并据周期函数的定义

题目简介

设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x).已知f(1)=lg32,f(2)=lg15.(1)通过计算f(3),f(4),…,由此猜测函数的周期T,并据周期函数的定义

题目详情

设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x).已知f(1)=lg
3
2
,f(2)=lg15.
(1)通过计算f(3),f(4),…,由此猜测函数的周期T,并据周期函数的定义给出证明;
(2)求f(2009)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解(1)f(1)=lgclass="stub"3
2

f(2)=lg15
f(3)=f(2)-f(1)=lg15-(lg3-lg2)=lg5+lg2=1   
f(4)=f(3)-f(2)=1-lg15       …+3
f(5)=f(4)-f(3)=1-lg15-1=-lg15     …+4
f(6)=f(5)-f(4)=-lg15-(1-lg15)=-1  …+5
f(7)=f(6)-f(5)=-1+lg15=lgclass="stub"3
2
…+6
猜测:T=6            …+7
证明:f(x+2)=f(x+1)-f(x)
f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)-f(x+1)=-f(x)
f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
所以 f(x)是一个周期为6的函数
(2)因为f(2009)=f(6×334+5)=f(5)=-lg15

更多内容推荐