已知函数f(x)=a-22x+1,(a∈R)是奇函数.(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a-22x+1,(a∈R)是奇函数.(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.-数学

题目详情

已知函数f(x)=a-
2
2x+1
,(a∈R)
是奇函数.
(1)求a的值;(2)求证f(x)是R上的增函数;(3)求证xf(x)≥0恒成立.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=a-class="stub"2
2x+1
,(a∈R)
的定义域为R
根据定义在R上奇函数图象必过原点
f(0)=a-class="stub"2
20+1
=0
解得a=1;
证明:(2)由(1)可得f(x)=1-class="stub"2
2x+1
=
2x -1
2x +1

任取R上两个实数x1,x2,且x1<x2,
则x1-x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
则f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1

=
(2x1-1)•(2x2+1)-(2x2-1)•(2x1+1)
(2x1+1)•(2x2+1)

=
(2x+x2-2x2+2x1-1)-(2x+x2+2x2-2x1-1)
(2x1+1)•(2x2+1)

=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)•(2x2+1)
<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的增函数;
(3)由(1)(2)得,
当x<0时,f(x)<0,此时xf(x)>0
当x=0时,f(x)=0,此时xf(x)=0
当x>0时,f(x)>0,此时xf(x)>0
故xf(x)≥0恒成立

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