定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.-数学

题目简介

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.-数学

题目详情

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x2-mx-1(2分)
又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(3分)
所以,f(x)=x2+mx+1(x>0),(4分)
又f(0)=0,(6分)
所以f(x)=
x2+mx+1 x>0
0  x=0
-x2+mx-1  x<0
(7分)
(2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,(8分)
由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,(9分)
又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,(10分)
即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2(11分)
△=m2-4>0
x1+x2=-m>0
x1x2=1>0
⇒m<-2
,(14分)
所以,所求实数m的取值范围是m<-2(15分)

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