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> 已知函数f(x)=axx+1(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…(1)当a=2时
已知函数f(x)=axx+1(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…(1)当a=2时
题目简介
已知函数f(x)=axx+1(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…(1)当a=2时
题目详情
已知函数f(x)=
ax
x+1
(a为非零常数),定义:f
1
(x)=f(x),f
k+1
(x)=f[f
k
(x)],k∈N
*
,例如:f
2
(x)=f[f(x)],f
3
(x)=f[f
2
(x)],…
(1)当a=2时,求
f
2
(1),
f
3
(-
1
7
)
的值;
(2)若对于任意x≠-1,等式f
2
(x)=x恒成立,求a的值;
(3)当a确定后,f
k
(x),k∈N
*
的值都由x的值确定.当a=2时,试通过对f
k
(x)的探究,写出一个使得集合{f
k
(x)}为有限集的真命题(不必证明).
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)当a=2时,f(x)=
class="stub"2x
x+1
∴f2(1)=f[f(1)]=f(1)=1
f
3
(-
class="stub"1
7
)=f{f[f(-
class="stub"1
7
)]} =f[f(-
class="stub"1
3
)] =f(-1)
无意义
(2)若对于任意x≠-1,等式f2(x)=x恒成立
∴f2(x)=
a•
class="stub"ax
x+1
class="stub"ax
x+1
+1
=
a
2
x
ax+x+1
=x恒成立即a2=(a+1)x+1恒成立
∴a=-1
(3)结合(1)满足条件的真命题为:函数f(x)=
class="stub"2x
x+1
,若x=-
class="stub"1
7
,则集合{fk(x)}为有限集.
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