设f(x)=ln(1+x)x(x>0)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由

题目简介

设f(x)=ln(1+x)x(x>0)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由

题目详情

f(x)=
ln(1+x)
x
(x>0)

(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;
(Ⅲ)求证:(1+
1
n
)n<e,n∈N*
(其中e为自然对数的底数).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)∵f(x)=
ln(1+x)
x
,(x>0)

f′(x)=
class="stub"x
1+x
-ln(1+x)
x2

g(x)=class="stub"x
1+x
-ln(1+x),(x≥0)

g′(x)=class="stub"1+x-x
(1+x)2
-class="stub"1
1+x
=
1-(1+x)
(1+x)2
=class="stub"-x
(1+x)2
≤0

∴y=g(x)在[0,+∞)上为减函数.
g(x)=class="stub"x
1+x
-ln(1+x)≤g(0)=0

f′(x)=
class="stub"x
1+x
-ln(1+x)
x2
<0

∴函数f(x)=
ln(1+x)
x
在(0,+∞)上为减函数.
(2)ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,⇔ln(1+x)-ax<0在(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=ln(1+x)-ax,则h(0)=0,
h′(x)=class="stub"1
1+x
-a

若a≥1,则x∈[0,+∞)时,h′(x)=class="stub"1
1+x
-a≤0
恒成立,
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,+∞)上为减函数
∴ln(1+x)-ax<h(0)=0在(0,+∞)上恒成立,
∴ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
若a≤0显然不满足条件,
若0<a<1,则h′(x)=class="stub"1
1+x
-a=0
时,x=class="stub"1
a
-1

x∈[0,class="stub"1
a
  时h'(x)≥0,
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,class="stub"1
a
  上为增函数,
x∈[0,class="stub"1
a
  时,h(x)=ln(1+x)-ax>0,
不能使ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
∴a≥1
(3)由(2)可知
ln(1+x)
x
<1
在(0,+∞)上恒成立,
ln(1+x)class="stub"1
x
<1
,即(1+x)class="stub"1
x
<e

class="stub"1
x
=n
,即可证得(1+class="stub"1
n
)n<e
对一切正整数n成立.

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