已知函数f(x)=(x-1x+1)2(x>1).(1)求f-1(x)的表达式;(2)判断f-1(x)的单调性;(3)若对于区间[14,12]上的每一个x的值,不等式(1-x)f-1(x)>m(m-x)

题目简介

已知函数f(x)=(x-1x+1)2(x>1).(1)求f-1(x)的表达式;(2)判断f-1(x)的单调性;(3)若对于区间[14,12]上的每一个x的值,不等式(1-x)f-1(x)>m(m-x)

题目详情

已知函数f(x)=(
x-1
x+1
)2(x>1)

(1)求f-1(x)的表达式;
(2)判断f-1(x)的单调性;
(3)若对于区间[
1
4
1
2
]
上的每一个x的值,不等式(1-
x
)f-1(x)>m(m-
x
)
恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由y=(class="stub"x-1
x+1
)2(x>1)
,得class="stub"x-1
x+1
=
y

x-1=
y
(x+1)
,于是x=
1+
y
1-
y

又x>1时,class="stub"x-1
x+1
=1-class="stub"2
x+1
∈(0,1),所以(class="stub"x-1
x+1
)2
∈(0,1).

f-1(x)=
1+
x
1-
x
 (0<x<1)

(2)由于class="stub"x-1
x+1
=1-class="stub"2
x+1
是(1,+∞)上的增函数,且class="stub"x-1
x+1
>0,
∴f(x)是(1,+∞)上的增函数,
从而f-1(x)是(0,1)上的增函数;
(3)(1-
x
)f-1(x)>m(m-
x
),亦即(1+m)
x
-m2+1>0
在区间[class="stub"1
4
,class="stub"1
2
]
上恒成立,
class="stub"1
2
(1+m)-m2+1>0
2
2
(1+m)-m2+1>0.
解得-1<m<class="stub"3
2

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