已知f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=ex(Ⅰ)f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.-数学

题目简介

已知f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=ex(Ⅰ)f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.-数学

题目详情

已知f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=ex
(Ⅰ)f(x),g(x)的解析式;
(Ⅱ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x),g(x)分别为R上的奇函数,偶函数f(x)-g(x)=ex①∴f(-x)-g(-x)=e-x∴-f(x)-g(x)=e-x②①-②得:f(x)=
ex-e-x
2

①+②得:g(x)=-
ex+e-x
2

(Ⅱ)证明:由(1)知f(x)=
ex-e-x
2

所以 f′(x)=class="stub"1
2
(ex+e-x)>0
,即导函数在(-∞,+∞)上恒为正值
因此f(x)在(-∞,+∞)上为增函数

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