已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.-数学

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已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.-数学

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已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:汕头一模

答案

(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f'(x)=1+lnx.
令f'(x)>0,解得x>class="stub"1
e
;令f'(x)<0,解得0<x<class="stub"1
e

从而f(x)在(0,class="stub"1
e
)
单调递减,在(class="stub"1
e
,+∞)
单调递增.
所以,当x=class="stub"1
e
时,f(x)取得最小值-class="stub"1
e

(Ⅱ)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式a≤lnx+class="stub"1
x
对于x∈[1,+∞)恒成立.
g(x)=lnx+class="stub"1
x

g′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
x2
=class="stub"1
x
(1-class="stub"1
x
)

当x>1时,
因为g′(x)=class="stub"1
x
(1-class="stub"1
x
)>0

故g(x)是(1,+∞)上的增函数,
所以g(x)的最小值是g(1)=1,
从而a的取值范围是(-∞,1].

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