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> 已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数
已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数
题目简介
已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数
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已知函数f(x)=
(log
a
x)
2
-log
a
x-2(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a=2时,求f(2);
(Ⅱ)求解关于x的不等式f(
1+x
1-x
)>0;
(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)当a=2时,f(2)=
(log
2
2)
2
-log22-2=1-1-2=-2 ….(2分)
(Ⅱ)令
t=
class="stub"1+x
1-x
,t∈(0,+∞)
f(
class="stub"1+x
1-x
)>0等价于(logat-2)(logat+1)>0
∴logat>2或logat<-1,
当a>1时,t>a2或
t<
class="stub"1
a
∴
class="stub"1+x
1-x
>
a
2
或
class="stub"1+x
1-x
<
class="stub"1
a
∴
a
2
-1
a
2
+1
<x<1
或
-1<x<
class="stub"1-a
1+a
;
当0<a<1时,t<a2或
t>
class="stub"1
a
∴
class="stub"1+x
1-x
<
a
2
或
class="stub"1+x
1-x
>
class="stub"1
a
∴
-1<x<
a
2
-1
a
2
+1
或
class="stub"1-a
1+a
<x<1
….(7分)
(Ⅲ)令logax=v,y=f(v)=v2-v-2,对称轴为
v=
class="stub"1
2
.
当a>1时,v∈[loga2,loga4]
①当1<a≤4,即
class="stub"1
2
≤lo
g
a
2
时,f(v)在[loga2,loga4]上单调递增,
∴fmin(v)=f(loga2)=
(lo
g
a
2
)
2
-lo
g
a
2-2=4
∴loga2=3或loga2=-2(不合题意)
∴
a=
3
2
②当4<a<16,即
lo
g
a
2<
class="stub"1
2
<lo
g
a
4
时,
f
min
(v)=f(
class="stub"1
2
)≠4
;
③当a≥16,即
class="stub"1
2
≥lo
g
a
4
时,fmin(v)=f(loga4)=
(lo
g
a
4)
2
-lo
g
a
4-2=4
∴loga4=3或loga4=-2(不合题意)
当0<a<1时,v∈[loga4,loga2],显然
class="stub"1
2
≥lo
g
a
2
,
∴fmin(v)=f(loga2)=
(lo
g
a
2
)
2
-lo
g
a
2-2=4
∴loga2=-2或loga2=3(不合题意)
∴
a=
2
2
综上:
a=
3
2
或
a=
2
2
….(12分)
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设f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=
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设f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=1
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题目简介
已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数
题目详情
(Ⅰ)当a=2时,求f(2);
(Ⅱ)求解关于x的不等式f(
(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.
答案
(Ⅱ)令t=
f(
∴logat>2或logat<-1,
当a>1时,t>a2或t<
∴
∴
当0<a<1时,t<a2或t>
∴
∴-1<x<
(Ⅲ)令logax=v,y=f(v)=v2-v-2,对称轴为v=
当a>1时,v∈[loga2,loga4]
①当1<a≤4,即
∴fmin(v)=f(loga2)=(loga2)2-loga2-2=4
∴loga2=3或loga2=-2(不合题意)
∴a=
②当4<a<16,即loga2<
③当a≥16,即
∴loga4=3或loga4=-2(不合题意)
当0<a<1时,v∈[loga4,loga2],显然
∴fmin(v)=f(loga2)=(loga2)2-loga2-2=4
∴loga2=-2或loga2=3(不合题意)
∴a=
综上:a=