已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数

题目简介

已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a=2时,求f(2);(Ⅱ)求解关于x的不等式f(1+x1-x)>0;(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数

题目详情

已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a=2时,求f(2);
(Ⅱ)求解关于x的不等式f(
1+x
1-x
)>0;
(Ⅲ)若函数f(x)在[2,4]的最小值为4,求实数a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)当a=2时,f(2)=(log22)2-log22-2=1-1-2=-2                     ….(2分)
(Ⅱ)令t=class="stub"1+x
1-x
,t∈(0,+∞)
f(class="stub"1+x
1-x
)>0等价于(logat-2)(logat+1)>0
∴logat>2或logat<-1,
当a>1时,t>a2或t<class="stub"1
a

class="stub"1+x
1-x
a2
class="stub"1+x
1-x
<class="stub"1
a

a2-1
a2+1
<x<1
-1<x<class="stub"1-a
1+a

当0<a<1时,t<a2或t>class="stub"1
a

class="stub"1+x
1-x
a2
class="stub"1+x
1-x
>class="stub"1
a

-1<x<
a2-1
a2+1
class="stub"1-a
1+a
<x<1
              ….(7分)
(Ⅲ)令logax=v,y=f(v)=v2-v-2,对称轴为v=class="stub"1
2

当a>1时,v∈[loga2,loga4]
①当1<a≤4,即class="stub"1
2
≤loga2
时,f(v)在[loga2,loga4]上单调递增,
∴fmin(v)=f(loga2)=(loga2)2-loga2-2=4
∴loga2=3或loga2=-2(不合题意)
a=
32

②当4<a<16,即loga2<class="stub"1
2
<loga4
时,fmin(v)=f(class="stub"1
2
)≠4

③当a≥16,即class="stub"1
2
≥loga4
时,fmin(v)=f(loga4)=(loga4)2-loga4-2=4
∴loga4=3或loga4=-2(不合题意)
当0<a<1时,v∈[loga4,loga2],显然class="stub"1
2
≥loga2

∴fmin(v)=f(loga2)=(loga2)2-loga2-2=4
∴loga2=-2或loga2=3(不合题意)
a=
2
2

综上:a=
32
a=
2
2
                    ….(12分)

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