首页 > 设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．-数学

设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．-数学

题目简介

设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．-数学

题目详情

设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：金华模拟

答案

（1）当a=2时，f（x）=x2+2|lnx-1|
=
x2-2lnx+2  (0＜x≤e)
x2+2lnx-2  (x＞e)
（2分）
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-class="stub"2
x
=
2x2-2
x
，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+class="stub"2
x
＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
f′(x)=2x+class="stub"a
x
（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
f′(x)=2x-class="stub"a
x
=class="stub"2
x
(x+
class="stub"a
2
)(x-
class="stub"a
2
)（1≤x＜e）
当
class="stub"a
2
≥e，即a≥2e2时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
ymin=
1+a，0＜a≤2
class="stub"3a
2
-class="stub"a
2
lnclass="stub"a
2
e2，a≥2e2
，2＜a＜2e2．
由条件得
1+a≥a
0＜a≤2
此时0＜a≤2；
或
class="stub"3a
2
-class="stub"a
2
lnclass="stub"a
2
≥a
2＜a＜2e2
，
此时2＜a≤2e；或
e2≥a
a≥2e2
，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）

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