已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值

题目简介

已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值

题目详情

已知函数f(logax)=
a
a2-1
(x-x-1)
,其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令logax=t,∴x=at,代入得f(t)=class="stub"a
a2-1
(at-a-t)
即f(x)=class="stub"a
a2-1
(ax-a-x),(a>0且a≠1).
(2)当a>1,class="stub"a
a2-1
>0,f(x)在R上是增函数,x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=class="stub"a
a2-1
ax1-a-x1)-class="stub"a
a2-1
ax2-  a-x2)

class="stub"a
a2-1
[(ax1-ax2)+(class="stub"1
ax2
-class="stub"1
ax1
)]
=class="stub"a
a2-1
(ax1-ax2)(1+class="stub"1
ax1ax2
)<0
∴f(x1)<f(x2)

∴f(x)在R上是增函数,当0<a<1时,同理可证:f(x)在R上是增函数
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,
∴当x∈(-∞,2)时,f(x)<f(2)=class="stub"a
a2-1
(a2-a-2),
∴f(2)-4=class="stub"a
a2-1
(a2-a-2)-4≤0,
整理得
a2-4a+1
a
≤0
且a>0且a≠1.
∴a2-4a+1≤0,解得2-
3
≤a≤2+
3
,且a≠1,
即[2-
3
,1)∪(1,2+
3
].

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