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> 已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值
已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值
题目简介
已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值
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已知函数
f(lo
g
a
x)=
a
a
2
-1
(x-
x
-1
)
,其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)令logax=t,∴x=at,代入得f(t)=
class="stub"a
a
2
-1
(at-a-t)
即f(x)=
class="stub"a
a
2
-1
(ax-a-x),(a>0且a≠1).
(2)当a>1,
class="stub"a
a
2
-1
>0,f(x)在R上是增函数,x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=
class="stub"a
a
2
-1
(
a
x
1
-
a
-x
1
)-
class="stub"a
a
2
-1
(
a
x
2
-
a
-x
2
)
class="stub"a
a
2
-1
[(
a
x
1
-
a
x
2
)+(
class="stub"1
a
x
2
-
class="stub"1
a
x
1
)]
=
class="stub"a
a
2
-1
(
a
x
1
-
a
x
2
)(1+
class="stub"1
a
x
1
a
x
2
)<0
∴f(
x
1
)<f(
x
2
)
∴f(x)在R上是增函数,当0<a<1时,同理可证:f(x)在R上是增函数
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,
∴当x∈(-∞,2)时,f(x)<f(2)=
class="stub"a
a
2
-1
(a2-a-2),
∴f(2)-4=
class="stub"a
a
2
-1
(a2-a-2)-4≤0,
整理得
a
2
-4a+1
a
≤0
且a>0且a≠1.
∴a2-4a+1≤0,解得2-
3
≤a≤2
+
3
,且a≠1,
即[2-
3
,1)∪(1,2
+
3
].
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