已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:宁德模拟

答案

(1)∵函数f(x)=2x+k•2-x为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴2-x+k•2x=-(2x+k•2-x)
∴(1+k)+(k+1)22x=0恒成立
∴k=-1
(2)∵对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,
∴2x+k•2-x>2-x成立
∴1-k<22x对任意的x∈[0,+∞)成立
∵y=22x在[0,+∞)上单调递增
∴函数的最小值为1
∴1-k<1
∴k>0

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