优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7
题目简介
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7
题目详情
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.
(1)若x∈N
*
,试求f(x)的解析式;
(2)若x∈N
*
,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0+1,f(0)=-1,
令y=1得,f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4,
即f(x+1)-f(x)=2x+4,
∴f(2)-f(1)=2×1+4,f(3)-f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4,…
f(x)-f(x-1)=2×(x-1)+4,
累加得:f(x)-f(1)=2(1+2+3+4…+(x-1))+4(x-1)=x2+3x-4,又 f(1)=1,
∴f(x)═x2+3x-3,x∈N*.
(2)∵x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
∴x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
即 a≤
x
2
-4x+7
x-1
=
(x-1)
2
-2(x-1)+4
x-1
=(x-1)+
class="stub"4
x-1
-2,
由基本不等式得 (x-1)+
class="stub"4
x-1
-2≥4-2=2 (当且仅当x=3时,等号成立),
∴(x-1)+
class="stub"4
x-1
-2 的最小值是2,,∴a≤2
上一篇 :
已知函数f(x)=ax+x4x+1是偶函数,
下一篇 :
已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.(1)若
搜索答案
更多内容推荐
函数y=x2+2x-3的单调减区间是______.-数学
下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=x-1B.y=x2C.y=2xD.y=(x+1)-1-数学
已知函数f(x)=2x+1+a2x-1(a∈R,且a≠0)(1)当a=-1时,判断f(x)在R上是增函数还是减函数,并说明理由;(2)判断f(x)奇偶性.-数学
已知函数f(x)=x2+4x,x≥04x-x2.x<0,若f(8-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是______.-数学
设函数f(x)=2xx<0g(x)x>0.若f(x)是奇函数,则g(2)的值是()A.-14B.-4C.14D.4-数学
若f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(log2x)<0的x的取值范围是()A.(0,4)B.(4,+∞)C.(0,14)∪(4,+∞)D.(14,4)-数
求函数y=2x-1在区间[2,6]上的最大值和最小值.-数学
定义在R上奇函数f(x),f(x+2)=1-f(x)1+f(x),则f(2010)=()A.0B.1C.-1D.2-数学
函数f(x)的定义域为R,并满足条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(x•y)=[f(x)]y;③f(13)>1.(1)求f(0)的值;(2)求证:f(x)在R上是单调递增函
已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x)在区间(0,12)上是减函数,求实数a的取值范围.-数学
设a∈R,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为______.-数学
下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是()A.y=-x2B.y=x2-2C.y=(12)xD.y=log21x-数学
定义在(-1,1)的函数f(x),对于任意的x,y∈(-1,1),都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,f(12)=12(1)判断f(x)的奇偶性并证明(2)证明f(
设函数f(x)=x+sinxx.(Ⅰ)判断f(x)在区间(0,π)上的增减性并证明之;(Ⅱ)若不等式0≤a≤x-3+4-x对x∈[3,4]恒成立,求实数a的取值范围M;(Ⅲ)设0≤x≤π,且a∈M,求
下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()A.y=x3+xB.y=-log2xC.y=3xD.y=1x-数学
设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=______.-数学
已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点,那么方程f(x)=0的所有实根之和为______.-数学
某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P=163t,Q=18t.今该公司将5亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资x-数学
(文)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的最大值等于______.-数学
定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)解关于x的不等式:f(x-x2+2)+f(2x)+
已知函数f(x)=a-x2x+lnx(a∈R,x∈[12,2])(1)当a∈[-2,14)时,求f(x)的最大值;(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,
已知函数f(x)=2x-m-12x+1是奇函数,且f(a2-2a)>f(3),则实数a的取值范围是______.-数学
已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[1,2]时,f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,若f(1)=2,则f(2013)=______.-数学
规定记号“△”表示一种运算,即a△b=a2+b2+a+3b,记f(x)=(sin2x)△(cos2x).若函数f(x)在x=x0处取到最大值,则f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值等于()A.6
设f(x)=2x,x<02x,x≥0,则f(log23)=______.-数学
对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学
已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-ax,且f(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;(2)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线
已知函数f(x)=x2-x,x≤12log2x,x>1则{x|f(x)>2}=______.-数学
已知函数f(x)=1-x21+x2,则f(5)+f(4)+…+f(1)+f(12)+…+f(15)=______.-数学
判断下列函数的奇偶性①y=x3+1x;②y=2x-1+1-2x;③y=x4+x;④y=x2+2(x>0)0(x=0)-x2-2(x<0).-数学
已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.-数学
已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是______.-数学
已知x>0,y>0,若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是______.-数学
设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导函数是f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=-3xB.y=-2xC.y=3xD.y=2x-数学
函数f(x)=x-1x>0ax=0x+bx<0是奇函数,则a+b=______.-数学
已知:a,b,c,d∈R+,且a+b+c+d=256,则a+b+c+d的最大值是______.-数学
已知a>1,f(logax)=aa2-1(x-1x).(1)求f(x)的解析式;(2)证明f(x)为R上的增函数;(3)若当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的集合M.-数学
设0≤x≤2,则函数f(x)=4x-12-3•2x+5的最大值是______,最小值是______.-数学
已知定义在R上的函数f(x)=1-2x2x+1是奇函数.(I)求实数a的值;(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.(1)求m+n的值;(2)设h(x)=f(x)+12x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,
函数y=4x+2x+1+5,x∈[1,2]的最大值为()A.20B.25C.29D.31-数学
已知函数f(x)是定义在R上的函数,其最小正周期为3,且x∈(0,3)时,f(x)=log2(3x+1),则f(2012)=()A.4B.2C.-2D.log27-数学
设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值范围.-数学
已知函数f(logax)=aa2-1(x-x-1),其中a>0且a≠1.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求实数a的取值
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,0)时f(x)=(12)x,则f(log28)等于______.-数学
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(2011)=().-高三数学
已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则方程f(x)=0的解集为______.-数学
定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(12)=0,则满足f(log14x)<0的集合为______.-数学
已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-23.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两
返回顶部
题目简介
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7
题目详情
(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;
(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数a的取值范围.
答案
令y=1得,f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4,
即f(x+1)-f(x)=2x+4,
∴f(2)-f(1)=2×1+4,f(3)-f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4,…
f(x)-f(x-1)=2×(x-1)+4,
累加得:f(x)-f(1)=2(1+2+3+4…+(x-1))+4(x-1)=x2+3x-4,又 f(1)=1,
∴f(x)═x2+3x-3,x∈N*.
(2)∵x≥2时,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
∴x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
即 a≤
由基本不等式得 (x-1)+
∴(x-1)+