设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.(1)、当f(x)奇函数时求a的值(2)、当a=1时,求曲线y=f(x)过点(0,f(0))的切线方程;(4分)(3)、当a≠0时,求函数f(x

题目简介

设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.(1)、当f(x)奇函数时求a的值(2)、当a=1时,求曲线y=f(x)过点(0,f(0))的切线方程;(4分)(3)、当a≠0时,求函数f(x

题目详情

设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
(1)、当f(x)奇函数时求a的值
(2)、当a=1时,求曲线y=f(x)过点(0,f(0))的切线方程;(4分)
(3)、当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值;(6分)
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x),
∴x(-x-a)2=x(x-a)2
∵x∈R
∴(-x-a)2=(x-a)2恒成立
∴a=0
(2)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,得f(0)=0,且f'(x)=-3x2+4x-1,
设切点(x0,-x0(x0-1)2)
所以,切线方程y+x0(x0-1)2=(-3x02+4x0-1)(x-x0)
因为(0,0)在曲线上代入求得x0=0,class="stub"1
2
,1

所以所求的切线方程为:y=-x;y=0;y=class="stub"1
4
x

(3)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x
f'(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a).
令f'(x)=0,解得x=class="stub"a
3
或x=a.
由于a≠0,以下分两种情况讨论.
(1)若a>0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:
x(-∞,class="stub"a
3
)
class="stub"a
3
(class="stub"a
3
,a)
a(a,+∞)
f'(x)-0+0-
因此,函数f(x)在x=class="stub"a
3
处取得极小值f(class="stub"a
3
)
,且f(class="stub"a
3
)=-class="stub"4
27
a3

函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.
(2)若a<0,当x变化时,f'(x)的正负如下表:
x(-∞,a)a(a,class="stub"a
3
)
class="stub"a
3
(class="stub"a
3
,+∞)
f'(x)-0+0-
因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;
函数f(x)在x=class="stub"a
3
处取得极大值f(class="stub"a
3
)
,且f(class="stub"a
3
)=-class="stub"4
27
a3

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