已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.(I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;(II)若不等式(1+1n)2n+a≤e2对任意的n∈N*都成立,(其中e是自然对数的底数

题目简介

已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.(I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;(II)若不等式(1+1n)2n+a≤e2对任意的n∈N*都成立,(其中e是自然对数的底数

题目详情

已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.
(I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;
(II)若不等式(1+
1
n
)2n+a
≤e2对任意的n∈N*都成立,(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:大连模拟

答案

(I)f′(x)=
2[ln(1+x)-x]
1+x
(1分)
设g(x)=ln(1+x)-x,x∈[0,1)
g′(x)=class="stub"1
1+x
-1≤0

函数g(x)在x∈(0,1)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,
∴f'(x)<0在x∈(0,1)上恒成立,
∴函数f(x)在x∈(0,1)上单调递减.(4分)
(II)不等式(1+class="stub"1
n
)2n+ae2
等价于不等式(n+class="stub"a
2
)ln(1+class="stub"1
n
)≤1

1+class="stub"1
n
>1
知,class="stub"a
2
≤class="stub"1
ln(1+class="stub"1
n
)
-n
,(5分)
G(x)=class="stub"1
ln(x+1)
-class="stub"1
x
,x∈(0,1]
,(6分)
G′(x)=-class="stub"1
(1+x)ln2(1+x)
+class="stub"1
x2
=
(1+x)ln2(1+x)-x2
x2(1+x)ln2(1+x)
(7分)
设h(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2(x∈[0,1])(8分)
h'(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x,
由(I)知x∈(0,1)时,h'(x)<h'(0)=0
∴函数h(x)在x∈(0,1)上单调递减,
h(x)<h(0)=0
∴G'(x)<0,∴函数G(x)在x∈(0,1]上单调递减.
G(x)≥G(1)=class="stub"1
ln2
-1
(11分)
故函数G(x)在({0,1}]上的最小值为G(1)=class="stub"1
ln2
-1.

class="stub"a
2
≤class="stub"1
ln2
-1

∴a的最大值为class="stub"2
ln2
-2.
(12分)

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