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已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f

题目简介

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f

题目详情

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：上饶模拟

答案

（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x2，
∴f′(x)=-class="stub"2
x
+2x=
2(x2-1)
x
，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．（2分）
（2）f′(x)=class="stub"a
x
+2x=
2(x2+class="stub"a
2
)
x
，
令f'（x）=0，由a＜-2，x＞0得x=
-class="stub"a
2
＞1（3分）
①当
-class="stub"a
2
＜e，即-2e2＜a＜-2时，f（x）在[1，
-class="stub"a
2
]递减，在[
-class="stub"a
2
，e]递增，
∴当x=
-class="stub"a
2
时，f(x)min=aln
-class="stub"a
2
-class="stub"a
2
．（5分）
②当
-class="stub"a
2
≥e，即a≤-2e2时，f（x）在[1，e]递减，
∴当x=e时，f（x）min=a+e2．（7分）
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x2-（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x2-（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x）min≤0，g′(x)=class="stub"a
x
+2x-(a+2)=
(2x-a)(x-1)
x
=
2(x-class="stub"a
2
)(x-1)
x
，（9分）
（ⅰ）当class="stub"a
2
≤1即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，
∴g（x）min=g（1）=-1-a≤0，∴a≥-1，
∴-1≤a≤2；（11分）
（ⅱ）当1＜class="stub"a
2
＜e即2＜a＜2e时，g（x）在[1，class="stub"a
2
]递减，[class="stub"a
2
，e]递增，
∴g(x)min=g(class="stub"a
2
)=a(lnclass="stub"a
2
-class="stub"a
4
-1)，
∵lnclass="stub"a
2
＜1，∴g（x）min＜0，
∴2＜a＜2e符合题意；（13分）
（ⅲ）当class="stub"a
2
≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
∴g（x）min=g（e）=a+e2-（a+2）e=（1-e）a+e2-2e≤2e（1-e）+e2-2e=-e2＜0，符合题意，（15分）
综上可得，a的取值范围是[-1，+∞）．（16分）

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