已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.-数学

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已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.-数学

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已知f(x)=ax-lnx>0对一切x>0恒成立,则实数a的取值范是______.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵f′(x)=a-class="stub"1
x
,(x>0)
∴由f′(x)=a-class="stub"1
x
=0,得a=class="stub"1
x
>0

∴由f′(x)=a-class="stub"1
x
>0,得a>class="stub"1
x

x>class="stub"1
a
时f(x)=ax-lnx是增函数,增区间是(class="stub"1
a
,+∞
).
∴由f′(x)=a-class="stub"1
x
<0,得a<class="stub"1
x

∴x<class="stub"1
a
时f(x)=ax-lnx是减函数,减区间是(0,class="stub"1
a
);
∴f(x)=ax-lnx在x=class="stub"1
a
时,取最小值:
f(x)min=f(class="stub"1
a
) =1-ln(class="stub"1
a
)
>0,
∴0<ln(class="stub"1
a
)<1,
e>class="stub"1
a

∴实数a的取值范围是(class="stub"1
e
,+∞
).
故答案为:(class="stub"1
e
,+∞
).

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