首页 > 已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+12，且f(12)=0，当x＞12时，f（x）＞0．（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；（2）判断

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+12，且f(12)=0，当x＞12时，f（x）＞0．（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；（2）判断

题目简介

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+12，且f(12)=0，当x＞12时，f（x）＞0．（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；（2）判断

题目详情

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+
1
2
，且f(
1
2
)=0，当x＞
1
2
时，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=y=class="stub"1
2
，则f(1)=f(class="stub"1
2
)+f(class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
，∴f(1)=class="stub"1
2
，
则当n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+class="stub"1
2
，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首项为class="stub"1
2
，公差为1的等差数列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=class="stub"1
2
n+
n(n-1)
2
=
n2
2
；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x1＜x2，x1，x2∈R，
f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f(x2-x1)+f(x1)+class="stub"1
2
-f(x1)
=f(x2-x1)+f(class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
=f(x2-x1+class="stub"1
2
)，
∵x2＞x1，∴x2-x1+class="stub"1
2
＞class="stub"1
2
，
由于当x＞class="stub"1
2
时，f（x）＞0，
∴f(x2-x1+class="stub"1
2
)＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上是增函数．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网