首页 > 已知函数f（x）=x2-2acoskπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k=2012，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；（3）当k=2011时

已知函数f（x）=x2-2acoskπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k=2012，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；（3）当k=2011时

题目简介

已知函数f（x）=x2-2acoskπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k=2012，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；（3）当k=2011时

题目详情

已知函数f（x）=x2-2acoskπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2012，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；
（3）当k=2011时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有
f(x)-x2
2a
＞
1
ex
-
2
ex
成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•class="stub"2a
x
．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；      
当k是偶数时，则f′(x)=2x-class="stub"2a
x
=
2(x+
a
)(x-
a
)
x
，
所以当x∈(0，
a
)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在(0，
a
)上是减函数，在(
a
，+∞)上是增函数．
（2）若k=2012，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．
记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x-class="stub"2a
x
-2a=class="stub"2
x
(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     
令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以x 1=
a-
a2+4a
2
＜0（舍去），x 2=
a+
a2+4a
2
．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则
g(x2)=0
g′(x2)=0
即
x22-2alnx2-2ax2=0
x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=class="stub"1
2

（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
(x∈(0，+∞))，
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-class="stub"1
e
，当且仅当x=class="stub"1
e
时取到，
设m(x)=class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
(x∈(0，+∞))，则m′(x)=class="stub"1-x
ex
，
易得m(x)max=m(1)=-class="stub"1
e
，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞class="stub"1
ex
-class="stub"2
ex
成立．故命题成立．

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