根据函数单调性的定义，判断f(x)=axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．-数学

题目简介

根据函数单调性的定义，判断f(x)=

x2+1

（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

在[1，+∞）上任取x1，x2，且1≤x1＜x2，（2分）
则f(x1)-f(x2)=

ax1

ax2

(x1-x2)(1-x1x2)

(

+1)(

+1)

（6分）
∵1≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，且1-x1x2＜0．（8分）
（1）当a＞0时，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f(x)=class="stub"ax

x2+1

是[1，+∞）上的减函数；（10分）
（2）当a＜0时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f(x)=class="stub"ax

x2+1

是[1，+∞）上的增函数；（12分）