已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
2
x
-xm,且f(4)=-
7
2

(1)求m的值;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(4)=-class="stub"7
2

class="stub"2
4
-4m=-class="stub"7
2
.∴m=1.
(2)f(x)=class="stub"2
x
-x在(0,+∞)上单调递减,证明如下:
任取0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(class="stub"2
x1
-x1)-(class="stub"2
x2
-x2)
=(x2-x1)(class="stub"2
x1x2
+1)

∵0<x1<x2,
∴x2-x1>0,class="stub"2
x1x2
+1>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)=class="stub"2
x
-x在(0,+∞)上单调递减.

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