若当x∈(0,12)时,不等式x2+x<logax恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学

题目简介

若当x∈(0,12)时,不等式x2+x<logax恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学

题目详情

若当x∈(0,
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)时,不等式x2+x<logax恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

构造函数f(x)=x2+x,g(x)=-logax.h(x)=f(x)+g(x).(0<x<class="stub"1
2

易知,在区间(0,class="stub"1
2
)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,class="stub"1
2
)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,class="stub"1
2
)上恒有h(x)<0.∴必有h(class="stub"1
2
)≤0.
即有(class="stub"1
4
)+(class="stub"1
2
)-loga(class="stub"1
2
)≤0.
整理就是(class="stub"3
4
)≤
lnclass="stub"1
2
lna
,∴实数a的取值范围是 
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4
≤a<1

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