设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数.(1)若m•n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0;(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-

题目简介

设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数.(1)若m•n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0;(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-

题目详情

设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数.
(1)若m•n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0;
(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-2)>0.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明∵m•n<0,m+n≤0,∴m、n一正一负.
不妨设m>0,n<0,则n≤-m<0.取n=-m<0,
∵函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,则f(n)=f(-m);取n<-m<0,同理
f(n)<f(-m)∴f(n)≤f(-m).又函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,
∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.
(2)解∵f(1)=0,f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,∴f(-1)=0,
∴原不等式可化为
x2-2x-2>0
f(x2-2x-2)>f(1)
x2-2x-2<0
f(x2-2x-2)>f(-1)

易证:f(x)在(0,+∞)上为增函数.
x2-2x-2>0
x2-2x-2>1
x2-2x-2<0
x2-2x-2>-1
.∴x2-2x-3>0或
x2- 2x-2<0
x2-2x-1>0

解得x>3或x<-1或
1-
3
<x<1+
3
x>1+
2
或x<1-
2
.∴不等式的解集为
(-∞,-1)∪(1-
3
,1-
2
)∪(1+
2
,1+
3
)∪(3,+∞).

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