已知函数f(x)=2x-12x+1.(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x)>79.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x-12x+1.(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x)>79.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(3)解不等式f(x)>
7
9
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)为奇函数.∵f(x)的定义域为R,对∀x∈R,
f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x)
,∴f(x)为奇函数.…(4分)
(2)f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.∵对-∞<x1<x2<+∞,2x1-2x2<0f(x)=
2x-1
2x+1
=1-class="stub"2
2x+1

f(x1)-f(x2)=(1-class="stub"2
2x1+1
)-(1-class="stub"2
2x2+1
)=class="stub"2
2x2+1
-class="stub"2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0

∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.…(8分)
(3)∵f(3)=class="stub"7
9
,又∵f(x)>class="stub"7
9
,即为f(x)>f(3).…(10分)
又f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
∴不等式f(x)>class="stub"7
9
的解集为{x|x>3}.…(13分)

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