首页 > 已知向量a=（cos3x2，sin3x2），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2]．（Ⅰ）求a•b及|a+b|；（Ⅱ）若f（x）=a•b-2λ|a+b|的最小值为-32，且λ∈[0，+∞

已知向量a=（cos3x2，sin3x2），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2]．（Ⅰ）求a•b及|a+b|；（Ⅱ）若f（x）=a•b-2λ|a+b|的最小值为-32，且λ∈[0，+∞

题目简介

已知向量a=（cos3x2，sin3x2），b=（cosx2，-sinx2），且x∈[0，π2]．（Ⅰ）求a•b及|a+b|；（Ⅱ）若f（x）=a•b-2λ|a+b|的最小值为-32，且λ∈[0，+∞

题目详情

已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（Ⅰ）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值为-
3
2
，且λ∈[0，+∞），求λ的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）
a
•
b
=cosclass="stub"3x
2
cosclass="stub"x
2
-sinclass="stub"3x
2
sinclass="stub"x
2
=cos2x（2分）
|
.
a
+
.
b
|=
(cosclass="stub"3x
2
+cosclass="stub"x
2
)2+(sinclass="stub"3x
2
-sinclass="stub"1
2
)2
=
2+2cos2x
（5分）
因为x∈[0，class="stub"x
2
]，所以cosx≥0所以|
a
+
b
|=2cosx（6分）
（Ⅱ）f（x）=
a
•
b
-2 λ|
a
+
b
|=cos2x-4 λcosx=2cos2x-4 λcosx-1
=2（cosx-λ）2-1-2 λ2（8分）
令t=cosx∈[0，1]，则f（x）=g（t）=2（t-λ）2-1-2λ2
①当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，f（x）取得最小值，
g（ λ）=-1-2 λ2即-1-2 λ2=-class="stub"3
2
⇒λ=class="stub"1
2
（10分）
②当  λ＞1时，当且仅当t=1时，f（x）取得最小值，g（1）=1-4λ
即1-4λ=-class="stub"3
2
⇒λ=class="stub"5
8
＜1不合题意，舍去．（12分）
综上，所以  λ=class="stub"1
2
（13分）

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