已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:石景山区一模

答案

(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a-class="stub"1
x
=class="stub"ax-1
x
.…(1分)
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;     …(3分)
②若a>0,令f′(x)=0得x=class="stub"1
a

在区间(0,class="stub"1
a
)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间(class="stub"1
a
,+∞)
上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是(class="stub"1
a
,+∞)
,递减区间是(0,class="stub"1
a
)
.…(6分)
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.…(7分)
由已知f(x)≥bx-2,则class="stub"x-1-lnx
x
≥b
       …(8分)
g(x)=class="stub"x-1-lnx
x
=1-class="stub"1
x
-class="stub"lnx
x
,则g(x)=-class="stub"1
x2
-class="stub"1-lnx
x2
=class="stub"lnx-2
x
      …(10分)
易得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,…(12分)
所以g(x)min=g(e2)=1-class="stub"1
e2
,即b≤1-class="stub"1
e2
.                   …(13分)

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