首页 > 已知函数f（x）=x2+ax+ax，且a＜1．（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）设函数g（x

已知函数f（x）=x2+ax+ax，且a＜1．（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）设函数g（x

题目简介

已知函数f（x）=x2+ax+ax，且a＜1．（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）设函数g（x

题目详情

已知函数f（x）=
x 2+ax+a
x
，且a＜1．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）设函数g（x）=x•f（x）+|x2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较
1
x1
+
1
x2
与4的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题得：f（x）=x+class="stub"a
x
+a，设1≤x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"a
x1
+a)-(x2+class="stub"a
x2
+a)=x1-x2+class="stub"a
x1
-class="stub"a
x2

=（x1-x2）
(x1x2-a)
x1x2
，
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞1，又a＜1，得x1x2-a＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，
要满足f（5-2m）＜f（3m）
只要1≤5-2m＜3m，
∴m的取值范围为：1＜m≤2．
（3）g（x）=x•f（x）+|x2-1|+（k-a）x-a=x2+kx+|x2-1|
g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2＜2，
g（x）=
kx+1，0＜x≤1
2x2+kx-1，1＜x＜2
，
所以g（x）在（0，1]是单调函数，
故g（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=-class="stub"1
2
＜0，
故不符题意，
因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由g（x1）=0得k=-class="stub"1
x1
，所以k≤-1；
由g（x2）=0得k=class="stub"1
x2
-2x2，所以-class="stub"7
2
＜k＜-1；
故当-class="stub"7
2
＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解．
方法一：因为0＜x1≤1＜x2＜2，
所以k=-class="stub"1
x1
，2x22+kx2-1=0
消去k得2x1x22-x1-x2=0
即class="stub"1
x1
+class="stub"1
x2
=2x2，因为x2＜2，
所以class="stub"1
x1
+class="stub"1
x2
＜4．
方法二：由g（x1）=0得x1=-class="stub"1
k，

由2x2+kx-1=0得x=
-k±
k2+8
4
；
因为x2∈（1，2），所以x2=
-k+
k2+8
4
．
则class="stub"1
x1
+class="stub"1
x2
=-k+
-k+
k2+8
4
=class="stub"1
2
(
k2+8
-k)．
而y=class="stub"1
2
(
k2+8
-k)=class="stub"4
k2+8​
+k
在(-class="stub"7
2
，-1)上是减函数，
则class="stub"1
2
(
k2+8
-k)＜class="stub"1
2
(
(-class="stub"7
2
)2+8
+class="stub"7
2
)=4．
因此，class="stub"1
x1
+class="stub"1
x2
＜4．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网