已知函数f(x)在定义域(-∞,1]上是减函数,问是否存在实数k,使不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立?并说明理由.-数学

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已知函数f(x)在定义域(-∞,1]上是减函数,问是否存在实数k,使不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立?并说明理由.-数学

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已知函数f(x)在定义域(-∞,1]上是减函数,问是否存在实数k,使不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意,可得
∵函数f(x)是定义在(-∞,1]上的减函数,不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)恒成立
∴不等式
k-sinx≤1 
k2-sin 2x≤1 
k-sinx≤k2-sin 2
对一切实数x恒成立,
k≤sinx+1 
k2≤sin 2x +1
k-k2≤sinx-sin 2
对一切实数x恒成立,
由此可得k2≤(1+sin2x)min且k-k2≤(sinx-sin2x)max
∴k2≤1且k-k2≤-2解之得k=-1
即存在实数k=-1,使不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立.

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