已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:对∀x1,x2∈(0,+∞)恒有f(x1x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)证明:函数f(x)在区间

题目简介

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:对∀x1,x2∈(0,+∞)恒有f(x1x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)证明:函数f(x)在区间

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已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:对∀x1,x2∈(0,+∞)恒有f(
x1
x2
)=f(x1)-f(x2)
,且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为单调递减函数;
(3)若f(3)=-1,
(ⅰ)求f(9)的值;(ⅱ)解不等式:f(3x)<-2.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(
x1
x2
)=f(x1)-f(x2)

令x1=x2=1,代入上式解得f(1)=0,
(2)设x2>x1>0,则 f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)

∵x2>x1>0,∴
x2
x1
>1
,∴f(
x2
x1
)
<0,
即f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(3)∵f(3)=-1,∴f(9)=f(3)+f(3)=-2,
∴不等式f(3x)<-2可化为f(3x)<f(9),
又∵函数在(0,+∞)上是减函数,∴3x>9,
即3x>32,解得:x>2,
即不等式的解集为 (2,+∞).

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