在△ABC中,sinAcos2C2+sinCcos2A2=32sinB,求角B的范围.-数学

题目简介

在△ABC中,sinAcos2C2+sinCcos2A2=32sinB,求角B的范围.-数学

题目详情

在△ABC中,sinA cos2
C
2
+sinC cos2
A
2
=
3
2
sinB
,求角B的范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

sinA•class="stub"1+cosC
2
+
sinC•class="stub"1+cosA
2
=class="stub"3
2
sinB

得:sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB,
即sinA+sin(A+C)+sinC=3sinB,
∴sinA+sinC=2sinB,即2b=a+c.
由余弦定理,得:cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-(class="stub"a+c
2
)
2
2ac
=
3(a2+c2)-2ac
8ac
≥class="stub"6ac-2ac
8ac
=class="stub"1
2

∵0<B<π且函数y=cosx在[0,π]]上是减函数
0<B≤class="stub"π
3

即B的范围是( 0 ,class="stub"π
3
 ]

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