已知函数f(x)=sinx+3cosx,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(α-π3)=65,α∈(0,π2),求f(2α-π3)的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sinx+3cosx,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(α-π3)=65,α∈(0,π2),求f(2α-π3)的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sinx+
3
cosx, x∈R

(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若f(α-
π
3
)=
6
5
α∈(0,
π
2
)
,求f(2α-
π
3
)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=sinx+
3
cosx
=2(class="stub"1
2
sinx+
3
2
cosx)
=2sin(x+class="stub"π
3
)

所以函数f(x)的最小正周期是2π.
(2)由(1)得,f(x)=2sin(x+class="stub"π
3
)

因为f(α-class="stub"π
3
)=class="stub"6
5
,所以f(α-class="stub"π
3
)=2sin(α-class="stub"π
3
+class="stub"π
3
)=2sinα=class="stub"6
5

sinα=class="stub"3
5
.    
因为α∈(0,class="stub"π
2
)
,所以cosα=
1-sin2α
=class="stub"4
5

所以f(2α-class="stub"π
3
)=2sin(2α-class="stub"π
3
+class="stub"π
3
)=2sin2α

=4sinαcosα
=4×class="stub"3
5
×class="stub"4
5
=class="stub"48
25

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