已知函数f(x)=4cosωx•sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=4cosωx•sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=4cosωx•sin(ωx+
π
4
)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间[0,
π
2
]上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:安徽

答案

(1)f(x)=4cosωxsin(ωx+class="stub"π
4
)=2
2
sinωx•cosωx+2
2
cos2ωx
=
2
(sin2ωx+cos2ωx)+
2
=2sin(2ωx+class="stub"π
4
)+
2

所以 T=class="stub"2π
=π,∴ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+class="stub"π
4
)+
2

因为0≤x≤class="stub"π
2
,所以class="stub"π
4
≤2x+class="stub"π
4
class="stub"5π
4

class="stub"π
4
≤2x+class="stub"π
4
class="stub"π
2
时,即0≤x≤class="stub"π
8
时,f(x)是增函数,
class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
4
class="stub"5π
4
时,即class="stub"π
8
≤x≤class="stub"π
2
时,f(x)是减函数,
所以f(x)在区间[0,class="stub"π
8
]上单调增,在区间[class="stub"π
8
class="stub"π
2
]上单调减.

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