首页 > 已知函数f(x)=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(x02)=23，x0∈(-π4，π4)，求cos

已知函数f(x)=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(x02)=23，x0∈(-π4，π4)，求cos

题目简介

已知函数f(x)=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(x02)=23，x0∈(-π4，π4)，求cos

题目详情

已知函数f(x)=2sinx•sin(
π
2
+x)-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(
x0
2
)=
2
3
，x0∈(-
π
4
，
π
4
)，求cos2x0的值．
题型：解答题难度：中档来源：朝阳区二模

答案

（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin2x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π．…（5分）
令2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z），…（6分）
可得 2kπ-class="stub"3π
4
≤2x≤2kπ+class="stub"π
4
，
即 kπ-class="stub"3π
8
≤x≤kπ+class="stub"π
8
，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-class="stub"3π
8
， kπ+class="stub"π
8
]（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得f(
x0
2
)=sinx0+cosx0=
2
3
，…（9分） 
 两边平方，可得 1+sin2x0=class="stub"2
9
，
所以，sin2x0=-class="stub"7
9
． …（11分） 
因为x0∈(-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
)，所以2x0∈(-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
)，
所以，cos2x0=
1-(-class="stub"7
9
)2
=
4
2
9
．…（13分）
解法二：因为x0∈(-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
)，
所以x0+class="stub"π
4
∈(0，class="stub"π
2
)．…（9分）
又因为f(
x0
2
)=
2
sin(2•
x0
2
+class="stub"π
4
)=
2
sin(x0+class="stub"π
4
)=
2
3
，
解得 sin(x0+class="stub"π
4
)=class="stub"1
3
．…（10分）
所以，cos(x0+class="stub"π
4
)=
1-(class="stub"1
3
)2
=
2
2
3
．…（11分）
所以，cos2x0=sin(2x0+class="stub"π
2
)=sin[2(x0+class="stub"π
4
)]=2sin(x0+class="stub"π
4
)cos(x0+class="stub"π
4
)
=2•class="stub"1
3
•
2
2
3
=
4
2
9
．…（13分）

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