已知sinα,cosα是关于x的一元二次方程x2-23x+a=0的两根,其中α∈[0,π](1)求α的值.(2)求cos(α+π4)的值.-数学

题目简介

已知sinα,cosα是关于x的一元二次方程x2-23x+a=0的两根,其中α∈[0,π](1)求α的值.(2)求cos(α+π4)的值.-数学

题目详情

已知sinα,cosα是关于x的一元二次方程x2-
2
3
x+a=0
的两根,其中α∈[0,π]
(1)求α的值.
(2)求cos(α+
π
4
)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由韦达定理,sinα+cosα=
2
3
①,sinα•cosα=a②
①式平方,得1+2sinα•cosα=class="stub"2
9
sinαcosα=-class="stub"7
18
<0

a=-class="stub"7
18

(2)∵cos(α+class="stub"π
4
)=cosαcosclass="stub"π
4
-sinαsinclass="stub"π
4
=
2
2
(cosα-sinα)
(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=class="stub"16
9

又α∈[0,π],sinα>0由③知cosα<0
cosα-sinα=-class="stub"4
3
cos(α+class="stub"π
4
)=
2
2
×(-class="stub"4
3
)=-
2
2
3

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