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> 已知数列{an}的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn(Ⅱ
已知数列{an}的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn(Ⅱ
题目简介
已知数列{an}的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn(Ⅱ
题目详情
已知数列{a
n
}的通项为a
n
,前n项和为s
n
,且a
n
是s
n
与2的等差中项,数列{b
n
}中,b
1
=1,点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式a
n
,b
n
(Ⅱ)设{b
n
}的前n项和为B
n
,试比较
1
B
1
+
1
B
2
+…+
1
B
n
与2的大小.
(Ⅲ)设T
n
=
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+…+
b
n
a
n
,若对一切正整数n,T
n
<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)由题意可得2an=sn+2,
当n=1时,a1=2,
当n≥2时,有2an-1=sn-1+2,两式相减,整理得an=2an-1即数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n.
点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上得出bn-bn+1+2=0,即bn+1-bn=2,
即数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,
因此bn=2n-1.
(Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
∴
class="stub"1
B
1
+
class="stub"1
B
2
+…+
class="stub"1
B
n
=
class="stub"1
1
2
+
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
3
2
+…+
class="stub"1
n
2
<1+
class="stub"1
1×2
+
class="stub"1
2×3
+..+
class="stub"1
(n-1).n
=1+(1-
class="stub"1
2
)+(
class="stub"1
2
-
class="stub"1
3
)+…+(
class="stub"1
n-1
-
class="stub"1
n
)
=
2-
class="stub"1
n
<2∴
class="stub"1
B
1
+
class="stub"1
B
2
+…+
class="stub"1
B
n
<2
.
(Ⅲ)Tn=
class="stub"1
2
+
class="stub"3
2
2
+
class="stub"5
2
3
+…+
2n-1
2
n
①
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
2
+
class="stub"3
2
3
+
class="stub"5
2
4
+…+
class="stub"2n-1
2
n+1
②
①-②得
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
+
class="stub"2
2
3
+…+
class="stub"2
2
n
-
class="stub"2n-1
2
n+1
∴
T
n
=3-
class="stub"1
2
n-2
-
class="stub"2n-1
2
n
<3
又
T
4
=
class="stub"1
2
+
class="stub"3
2
2
+
class="stub"4
2
3
+
class="stub"7
2
4
=
class="stub"37
16
>2
∴满足条件Tn<c的最小值整数c=3.
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设{an}是公比大于1的等比数列,S
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对任何实数x,y,函数f(x)满足f(x+y)=f
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已知数列{an}的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn(Ⅱ
题目详情
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn
(Ⅱ)设{bn}的前n项和为Bn,试比较
(Ⅲ)设Tn=
答案
当n=1时,a1=2,
当n≥2时,有2an-1=sn-1+2,两式相减,整理得an=2an-1即数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n.
点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上得出bn-bn+1+2=0,即bn+1-bn=2,
即数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,
因此bn=2n-1.
(Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
∴
=2-
(Ⅲ)Tn=
①-②得
∴Tn=3-
又T4=
∴满足条件Tn<c的最小值整数c=3.