设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1n(n+1)+a2n,n=1,2

题目简介

设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1n(n+1)+a2n,n=1,2

题目详情

设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=
1
n(n+1)
+a2n,n=1,2,…
,求数列{bn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知得
a1+a2+a3=7
(a1+3)+(a3+4)
2
=3a2.

解得a2=2.
设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=class="stub"2
q
a3=2q

又S3=7,可知class="stub"2
q
+2+2q=7

即2q2-5q+2=0,
解得q1=2,q2=class="stub"1
2

由题意得q>1,∴q=2.∴a1=1.
故数列{an}的通项为an=2n-1.
(2)bn=class="stub"1
n(n+1)
+a2n=class="stub"1
n(n+1)
+22n-1

Tn=(class="stub"1
1×2
+2)+(class="stub"1
2×3
+23)+…+[class="stub"1
n×(n+1)
+22n-1]
=[class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+…+class="stub"1
n×(n+1)
]+(2+23+…+22n-1)
=[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
- class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]+
2(1-4n)
1-4

=(1-class="stub"1
n+1
)+
2(4n-1)
3

=
22n+1
3
+ class="stub"1
3
- class="stub"1
n+1

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