在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a-b)cosC=c(cosB-cosA).(I)判断△ABC的形状;(II)求y=cosA+sin(B+π6)的最大值,并求y取得最大值时

题目简介

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a-b)cosC=c(cosB-cosA).(I)判断△ABC的形状;(II)求y=cosA+sin(B+π6)的最大值,并求y取得最大值时

题目详情

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a-b) cosC=c(cosB-cos A).
(I)判断△ABC的形状;
(II)求y=cosA+sin(B+
π
6
)的最大值,并求y取得最大值时角C的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)在△ABC中,∵(a-b) cosC=c(cosB-cos A),由正弦定理可得 (sinA-sinB) cosC=sinC(cosB-cos A),
化简可得 sin(A+C)=sin(B+C),
∴sinB=sinA,由正弦定理可得 a=b,故△ABC为等腰三角形.
(II)由(I)可得A=B∈(0,class="stub"π
2
),由于 y=cosA+sin(B+class="stub"π
6
)=cosA+
3
2
sin
A+class="stub"1
2
sinA=class="stub"3
2
cosA
+
3
2
sinA
=
3
sin(A+class="stub"π
3
),
故当 A+class="stub"π
3
=class="stub"π
2
,即 A=class="stub"π
6
=B时,ymax=
3
,此时,C=π-(A+B)=class="stub"2π
3

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