在△ABC中,已知内角A=π3,边BC=23.设内角B=x,△ABC的面积为y.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(Ⅱ)当角B为何值时,△ABC的面积最大.-数学

题目简介

在△ABC中,已知内角A=π3,边BC=23.设内角B=x,△ABC的面积为y.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(Ⅱ)当角B为何值时,△ABC的面积最大.-数学

题目详情

在△ABC中,已知内角A=
π
3
,边BC=2
3
.设内角B=x,△ABC的面积为y.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(Ⅱ)当角B为何值时,△ABC的面积最大.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵A=class="stub"π
3
,且A+B+C=π
0<B<class="stub"2π
3
0<x<class="stub"2π
3

由正弦定理可得,class="stub"AC
sinB
=class="stub"BC
sinA

∴AC=class="stub"BC
sinA
sinB
=4sinx
y=class="stub"1
2
AB•AC
sinA=4
3
sinxsin(class="stub"2π
3
-x
(0<x<class="stub"2π
3
)

(II)y=4
3
sinxsin(class="stub"2π
3
-x
)=4
3
sinx(
3
2
cosx+class="stub"1
2
sinx)

=6sinxcosx+2
3
sin2x

=3sin2x+2
3
×class="stub"1-cos2x
2

=2
3
sin(2x-class="stub"π
6
)
+
3
(-class="stub"π
6
<2x-class="stub"π
6
<class="stub"7π
6

2x-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
即x=class="stub"π
3
时,y取得最大值3
3

∴B=class="stub"1
3
π
时,△ABC的面积最大为3
3

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