首页 > 平面内有四个点O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c，向量a、b、c满足a+b+λc=0，其中λ为实数．（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；（他）当λ=1时，且a•b=b•c=c•a=-1

平面内有四个点O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c，向量a、b、c满足a+b+λc=0，其中λ为实数．（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；（他）当λ=1时，且a•b=b•c=c•a=-1

题目简介

平面内有四个点O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c，向量a、b、c满足a+b+λc=0，其中λ为实数．（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；（他）当λ=1时，且a•b=b•c=c•a=-1

题目详情

平面内有四个点O、A、B、C，记
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，向量
a
、
b
、
c
 满足
a
+
b
+λ
c
=0，其中λ为实数．
（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；
（他）当λ=1时，且
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
a
=-1，试判断△ABC的形状．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵点C是线段2B的中点，∴
OC
=class="stub"1
1
(
O2
+
OB
)，∴
2
+
b
-1
c
=
0
，又
2
+
b
+λ
c
=
0
，∴λ=-1．
（1）当λ=1时，则
2
+
b
+
c
=
0
，∴
b
=-(
2
+
c
)．
∵
2
•
b
=
b
•
c
，∴
b
•(
2
-
c
)=0，∴-(
2
+
c
)•(
2
-
c
)=0，∴
2
1=
c
1，∴|
2
|=|
c
|．
同理|
b
|=|
c
|．
由
2
•
b
=
b
•
c
=
c
•
2
=-1得＜
2
，
b
＞=＜
b
，
c
＞=＜
c
，
2
＞，
∴△O2B≌△OBC≌OC2，∴2B=BC=C2．
∴△2BC是等边三角形．

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