已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列(1)若sinC=2sinA,求cosB的值;(2)求角B的最大值.并判断此时△ABC的形状.-数学

题目简介

已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列(1)若sinC=2sinA,求cosB的值;(2)求角B的最大值.并判断此时△ABC的形状.-数学

题目详情

已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列
(1)若sinC=2sinA,求cosB的值;
(2)求角B的最大值.并判断此时△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)sinC=2sinA利用正弦定理化简得:c=2a,
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac=2a2,即b=
2
a,
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+4a2-2a2
4a2
=class="stub"3
4

(2)∵b2=ac,
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
class="stub"2ac-ac
2ac
=class="stub"1
2

∵函数y=cosx在区间[0,π]上为减函数,
∴B∈(0,class="stub"π
3
],即角B的最大值为class="stub"π
3

此时有a=c,且b2=ac,可得a=b=c,
则△ABC为等边三角形.

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