首页 > 已知函数f(x)=1-3sin2x+2cos2x．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．-数

已知函数f(x)=1-3sin2x+2cos2x．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．-数

题目简介

已知函数f(x)=1-3sin2x+2cos2x．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．-数

题目详情

已知函数f(x)=1-
3
sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；
（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分14分）
（1）f（x）=1-
3
sin2x+2cos2x
=cos2x-
3
sin2x+2 （2分）
=2cos（2x+class="stub"π
3
）+2，（4分）
∵-1≤cos（2x+class="stub"π
3
）≤1，
∴0≤2cos（2x+class="stub"π
3
）+2≤4，
∴f（x）的最大值为4，（5分）
当2x+class="stub"π
3
=2kπ（k∈Z），即x=kπ-class="stub"π
6
（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，
则此时x的集合为{x|x=kπ-class="stub"π
6
，k∈Z}；（7分）
（2）由f（A）=0得：2cos（2A+class="stub"π
3
）+2=0，即cos（2A+class="stub"π
3
）=-1，
∴2A+class="stub"π
3
=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+class="stub"π
3
（k∈Z），
又0＜A＜π，∴A=class="stub"π
3
，（9分）
∵a=1，sinA=
3
2
，
由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
得：b=class="stub"asinB
sinA
=class="stub"2
3
sinB，c=class="stub"2
3
sinC，（10分）
又A=class="stub"π
3
，∴B+C=class="stub"2π
3
，即C=class="stub"2π
3
-B，
∴b+c=class="stub"2
3
（sinB+sinC）=class="stub"2
3
[sinB+sin（class="stub"2π
3
-B）]
=class="stub"2
3
（sinB+
3
2
cosB+class="stub"1
2
sinB）
=2（
3
2
sinB+class="stub"1
2
cosB）
=2sin（B+class="stub"π
6
），（12分）
∵A=class="stub"π
3
，∴B∈（0，class="stub"2π
3
），
∴B+class="stub"π
6
∈（class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
），
∴sin（B+class="stub"π
6
）∈（class="stub"1
2
，1]，
则b+c的取值范围为（1，2]．（14分）

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