首页 > 已知函数f(x)=2sin2(π4+x)+3(sin2x-cos2x)，x∈[π4，π2]．（1）求f(5π12)的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)+3(sin2x-cos2x)，x∈[π4，π2]．（1）求f(5π12)的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的

题目简介

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)+3(sin2x-cos2x)，x∈[π4，π2]．（1）求f(5π12)的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的

题目详情

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
+x)+
3
(sin2x-cos2x)，x∈[
π
4
， 
π
2
]．
（1）求f(
5π
12
)的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f(class="stub"5π
12
)=2sin2(class="stub"π
4
+class="stub"5π
12
)+
3
(sin2class="stub"5π
12
-cos2class="stub"5π
12
)=3． 
（2）f(x)=[1-cos(class="stub"π
2
+2x)]-
3
cos2x=1+sin2x-
3
cos2x=1+2sin(2x-class="stub"π
3
)．         
又 x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，
∴class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
，
当class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
时，f（x）单调递增；
 当class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
时，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是[class="stub"π
4
，class="stub"5π
12
]；
f（x）的单调递减区间是[class="stub"5π
12
，class="stub"π
2
]． 
（3）由（2）得 2≤1+2sin(2x-class="stub"π
3
)≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]．
∴m＞f（x）max-2且 m＜f（x）min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

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