在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a)与n=(cosB,b)平行.(1)求sinCsinA的值;(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC

题目简介

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA-2cosC,2c-a)与n=(cosB,b)平行.(1)求sinCsinA的值;(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC

题目详情

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量
m
=(cosA-2cosC,2c-a)
n
=(cosB,b)
平行.
(1)求
sinC
sinA
的值;
(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC周长为5,求b的长.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知向量
m
=(cosA-2cosC,2c-a)
n
=(cosB,b)
平行
∴b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,
由正弦定理,可设class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=k≠0
,则(cosA-2cosC)ksinB=(2ksinC-ksinA)cosB,
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,…(3分)
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),
又A+B+C=π,所以sinC=2sinA,
因此class="stub"sinC
sinA
=2
.…(6分)
(2)bcosC+ccosB=b•
a2+b2-c2
2ab
+c
a2+c2-b2
2ac
=
2a2
2a
=a=1
,…(8分)
由(1)知class="stub"c
a
=class="stub"sinC
sinA
=2
,∴c=2,…(10分)
由a+b+c=5,得b=2.…(12分)

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