首页 > 已知向量a=（cos（-θ），sin（-θ）），b=(cos(π2-θ)，sin(π2-θ))．（1）求证：a⊥b．（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+（t2+3）b，y=（-ka+tb），满

已知向量a=（cos（-θ），sin（-θ）），b=(cos(π2-θ)，sin(π2-θ))．（1）求证：a⊥b．（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+（t2+3）b，y=（-ka+tb），满

题目简介

已知向量a=（cos（-θ），sin（-θ）），b=(cos(π2-θ)，sin(π2-θ))．（1）求证：a⊥b．（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+（t2+3）b，y=（-ka+tb），满

题目详情

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明∵
a
•
b
=cos（-θ）•cos（class="stub"π
2
-θ）+sin（-θ）•sin(class="stub"π
2
-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴
a
⊥
b
．
（2）解由
x
⊥
y
得
x
•
y
=0，
即[
a
+（t2+3）
b
]•（-k
a
+t
b
）=0，
∴-k
a
2+（t3+3t）
b
2+[t2-k（t+3）]
a
•
b
=0，
∴-k|
a
|2+（t3+3t）|
b
|2=0．
又|
a
|2=1，|
b
|2=1，
∴-k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t．
∴class="stub"k+t2
t
=class="stub"t3+t2+3t
t
=t2+t+3=(t+class="stub"1
2
)22+class="stub"11
4
．
故当t=-class="stub"1
2
时，class="stub"k+t2
t
有最小值class="stub"11
4
．

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