首页 > 设函数f（x）=a•b，其中向量a=（cosx2，sinx2）（x∈R），向量b=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜π2），f（x）的图象关于直线x=π6对称．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）若函数y=1+sin

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（cosx2，sinx2）（x∈R），向量b=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜π2），f（x）的图象关于直线x=π6对称．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）若函数y=1+sin

题目简介

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（cosx2，sinx2）（x∈R），向量b=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜π2），f（x）的图象关于直线x=π6对称．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）若函数y=1+sin

题目详情

设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（cos
x
2
，sin
x
2
） （x∈R），向量
b
=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜
π
2
），f（x）的图象关于直线x=
π
6
对称．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin
x
2
的图象按向量
c
=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函数y=f（x）的图象，求向量
c
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f（x）=
a
•
b
=cosclass="stub"x
2
cosϕ+sinclass="stub"x
2
sinϕ=cos（class="stub"x
2
-ϕ），
∵f（x）的图象关于直线x=class="stub"π
6
对称，
∴f(class="stub"π
6
)=cos(class="stub"π
12
-φ)=cos(φ-class="stub"π
12
)=±1，
∴φ-class="stub"π
12
=kπ，k∈Z，又|ϕ|＜class="stub"π
2
，∴ϕ=class="stub"π
12
．
（Ⅱ）f（x）=cos（class="stub"x
2
-class="stub"π
12
）=sin（class="stub"x
2
+class="stub"5π
12
）=sinclass="stub"1
2
（x+class="stub"5π
6
），
由y=1+sinclass="stub"x
2
平移到y=sinclass="stub"1
2
（x+class="stub"5π
6
），只需向左平移class="stub"5π
6
单位，
再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为π，且
c
=（m，n） （|m|＜π），
∴m=-class="stub"5π
6
，n=-1，即
c
=（-class="stub"5π
6
，-1）．
另f（x）=cos（class="stub"x
2
-class="stub"π
12
）=sin（class="stub"x
2
+class="stub"5π
12
）=sinclass="stub"1
2
（x+class="stub"5π
6
），
由y-1=sinclass="stub"x
2
平移到y′=sinclass="stub"1
2
(x′+class="stub"5π
6
)，只要
x′+class="stub"5π
6
=x
y′=y-1
即
x′-x=-class="stub"5π
6
y′-y=-1
，
∴
c
=（-class="stub"5π
6
，-1）．

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