首页 > 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=π3，a+b=λc，（其中λ＞1）．（Ⅰ）若c=λ=2时，求AC•BC的值；（Ⅱ）若AC•BC=16（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=π3，a+b=λc，（其中λ＞1）．（Ⅰ）若c=λ=2时，求AC•BC的值；（Ⅱ）若AC•BC=16（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△

题目简介

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=π3，a+b=λc，（其中λ＞1）．（Ⅰ）若c=λ=2时，求AC•BC的值；（Ⅱ）若AC•BC=16（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△

题目详情

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=
π
3
，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求
AC
•
BC
的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=
1
6
（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=class="stub"π
3
⇒sinB+sin(class="stub"2π
3
-B)=
3
⇒sin(B+class="stub"π
6
)=1，
∴B=class="stub"π
3
，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，
∴
AC
•
BC
=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
由
AC
•
BC
=class="stub"1
6
(λ4+3)⇒ab=class="stub"1
3
(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)⇒c2=
λ4+3
λ2-1
=(λ2-1)+class="stub"4
λ2-1
+2≥6
∴cmin=
6
当且仅当λ=
3
时取等号．此时c=
6
，ab=4，a+b=3
2
，
∴
a=
2
b=2
2
c=
6
或
a=2
2
b=
2
c=
6
，
∴△ABC为直角三角形．

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