首页 > 已知函数f（x）=sinx2cosx2+3cos2x2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

已知函数f（x）=sinx2cosx2+3cos2x2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

题目简介

已知函数f（x）=sinx2cosx2+3cos2x2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

题目详情

已知函数f（x）=sin
x
2
cos
x
2
+
3
cos2
x
2
．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
题型：解答题难度：中档来源：嘉定区一模

答案

（1）法1：由f（x）=0，
得sinclass="stub"x
2
cosclass="stub"x
2
+
3
cos2class="stub"x
2
=cosclass="stub"x
2
（sinclass="stub"x
2
+
3
cosclass="stub"x
2
）=0，
由cosclass="stub"x
2
=0，得class="stub"x
2
=kπ+class="stub"π
2
，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sinclass="stub"x
2
+
3
cosclass="stub"x
2
=0，得tanclass="stub"x
2
=-
3
，
∴class="stub"x
2
=kπ-class="stub"π
3
，即x=2kπ-class="stub"2π
3
（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ-class="stub"2π
3
（k∈Z）}；
法2：f（x）=class="stub"1
2
sinx+
3
2
（cosx+1）
=class="stub"1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin（x+class="stub"π
3
）+
3
2
，
由f（x）=0，得sin（x+class="stub"π
3
）=-
3
2
，
可得x+class="stub"π
3
=kπ-（-1）kclass="stub"π
3
（k∈Z），即x=kπ-（-1）kclass="stub"π
3
-class="stub"π
3
（k∈Z），
则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ-（-1）kclass="stub"π
3
-class="stub"π
3
（k∈Z）}；
（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥class="stub"1
2
，
又B为三角形的内角，
∴0＜B≤class="stub"π
3
，
由题意得x=B，即x∈（0，class="stub"π
3
]，
f（x）=class="stub"1
2
sinx+
3
2
（cosx+1）
=class="stub"1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin（x+class="stub"π
3
）+
3
2
，
∵x+class="stub"π
3
∈（class="stub"π
3
，class="stub"2π
3
]，
则此时函数f（x）的值域为[
3
，
3
2
+1]．

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